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奇点与奇点定理简介 (一)

一. 什么是奇点？

自本节开始， 我们将介绍能量条件在现代物理中的若干应用， 首先要介绍的是奇点定理。 在广义相对论中， 对奇点的研究是一个重要的课题， 它既是能量条件最早的应用之一， 也是全局方法在广义相对论中初试锋芒的范例。 我们在 能量条件简介的引言 中曾经提到， 广义相对论的经典解 - 比如 Schwarzschild 解 - 存在奇异性。 这其中有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=2m - 可以通过坐标变换予以消除， 因而不代表物理上的奇点； 而有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=0 - 则是真正的物理奇点。 很明显， 在奇点研究中， 真正的物理奇点才是我们感兴趣的对象。

那么究竟什么是广义相对论中真正的物理奇点 (简称奇点) 呢？

初看起来， 这似乎是一个很简单的问题。 奇点显然就是那些时空结构具有某种病态性质 (pathological behavior) 的时空点。 但稍加推敲， 就会发现这种说法存在许多问题。 首先， “病态性质” 是一个很含糊的概念， 究竟什么样的性质是病态性质呢？ 显然需要予以精确化。 其次， 广义相对论与其它物理理论有一个很大的差异， 那就是其它物理理论都预先假定了一个背景时空的存在， 因此， 那些理论如果出现奇点 - 比如电磁理论中点电荷所在处的场强奇点 - 我们可以明确标识奇点在背景时空中的位置[注一]。 但广义相对论描述的是时空本身的性质。 因此在广义相对论中一旦出现奇点， 往往意味着时空本身的性质无法定义。 另一方面， 物理时空被定义为带 Lorentz 度规的四维流形[注二]， 它在每一点上都具有良好的性质。 因此， 物理时空按照定义就是没有奇点的， 换句话说， 奇点并不存在于物理时空中[注三]。

既然奇点并不存在于物理时空中， 自然就谈不上哪一个时空点是奇点， 从而也无法把奇点定义为时空结构具有病态性质的时空点了。 但即便如此， 象 Schwarzschild 解具有奇异性这样显而易见的事实仍然是无法否认的， 因此关键还在于寻找一个合适的奇点定义。

为了寻找这样的定义， 我们不妨想一想， 为什么即便当 Schwarzschild 解中的 r=0 这样的 “麻烦制造者” 不存在于物理时空中， 我们仍然认为 Schwarzschild 解具有奇异性是显而易见的事实？ 答案很简单 (否则就不叫显而易见了)： 当一个试验粒子在 Schwarzschild 时空中沿径向落往中心 (即 r 趋于 0) 时， 它所接触到的时空曲率趋于发散。 由于试验粒子的下落是沿非类空测地线进行的[注四]， 这启示我们这样来定义奇点： 如果时空结构沿非类空测地线出现病态性质， 则表明存在奇点。 这个定义不需要将奇点视为时空流形的一部分， 从而避免了上面提到的与时空流形的定义之间的矛盾。 但是， 这个定义还面临两个问题： 一是 “病态性质” 这个含糊概念仍未得到澄清， 二是在这个定义中， 假如试验粒子沿非类空测地线需要经过无穷长的时间才会接触到时空结构的病态性质， 那么奇点的存在就不具有观测意义。 为了解决这两个问题， 物理学家们提出了一个进一步的要求， 即要求定义中涉及的非类空测地线具有有限 “长度”， 并且是不可延拓的 (inextendible)[注五]。 这种具有有限的 “长度” 的不可延拓非类空测地线被称为不完备非类空测地线 (incomplete non-spacelike geodesics)。

有了这一概念， 我们可以这样来定义奇点： 如果存在不完备非类空测地线， 则时空流形具有奇点。 这就是多数广义相对论文献所采用的奇点定义。 这种存在不完备非类空测地线的时空被称为非类空测地不完备时空， 简称测地不完备时空 (geodesically incomplete spacetime)。 在一些文献中， 按照不完备测地线的类型， 还将测地不完备时空进一步细分为类时测地不完备与类光测地不完备[注六]。 这个定义的合理性体现在： 在一个测地不完备的时空流形中， 试验粒子可以沿不完备的非类空测地线运动， 并在有限时间内从时空流形中消失。 这种试验粒子在有限时间内从时空流形中消失的行为 - 即测地不完备性 - 可以视为是对时空结构具有 “病态性质” 这一含糊要求的精确表述。 这样我们就既解决了 “病态性质” 的精确化问题， 又使奇点具有了观测意义 (即试验粒子在有限时间内就可以遇到奇点)。 在一些文献中， 还对奇点存在于过去还是未来进行区分： 如果所涉及的非类空测地线是未来 (过去) 不可延拓的， 则对应的奇点被称为未来 (过去) 奇点。

细心的读者可能注意到我们在前面的 “长度” 一词上加了引号。 一般来说， 类时测地线的长度定义为固有时间：

τ = ∫ ds


但这一定义不适合描述类光测地线， 因为后者对应的固有时间恒为零。 因此， 我们需要对长度的定义进行推广， 将之定义为所谓的广义仿射参数 (generalized affine parameter)。 对于一条时空曲线 C(t) (t 为任意参数)， 广义仿射参数定义为：

λ = ∫ [ΣaVa(t)Va(t)]1/2 dt


其中 Va(t) 为曲线在 C(t) 处的切向量 ∂/∂t 沿该处某标架场 ea(t) 的分量。 曲线上各点的标价场定义为由某一点的标价场平移而来， 而求和则是欧式空间中的分量求和。 显然， 这样定义的广义仿射参数是恒正的， 它的数值与标架场的选择有关。 但可以证明， 广义仿射参数的有限与否与标价场的选择无关。 因此它对于我们表述奇点的定义已经足够了。 需要注意的是， 广义仿射参数的定义适用于所有 C1 类 (即一次连续可微) 的时空曲线， 而不限于测地线。 不难证明， 类时测地线的固有时间是广义仿射参数的特例 (请读者自行证明)。

作为一个例子， 我们来看看 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点是否满足上面所说的奇点定义。 为此我们来计算从施瓦西视界 (r=2m) 出发， 向内 (即沿 r 减小方向) 延伸的径向类时测地线的长度 (即固有时间)。 由 Schwarzschild 度规可知：

ds2 = -(2m/r-1)dt2 + (2m/r-1)-1dr2


因此 (请读者补全被省略的计算细节)

τ = ∫ ds < ∫ (2m/r-1)-1/2dr ≤ πm < ∞


由此可见这种测地线的长度是有限的。 另一方面， 沿这种测地线趋近 r=0 时， Kretschmann 标量 RμνρσRμνρσ 发散， 因此这种测地线是不可延拓的。 这表明 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点满足上面所说的奇点定义。 从物理上讲， 这个结果表明落入 Schwarzschild 视界的试验粒子会在有限固有时间内从物理时空中消失 (形象地说是 “落入奇点”)。

现在让我们再回到定义上来， 奇点的定义要求时空流形具有测地不完备性。 读者也许会问： 测地线究竟由于什么原因而不完备？ 另外， 虽说测地不完备性是对时空结构所具有的病态结构的精确描述， 但这 “精确” 二字是以数学上无歧义为标准的。 在物理上， 我们仍然可以问这样一个问题： 当试验粒子沿不完备的测地线运动时， 究竟会遇到什么样的时空病态性质？ 或者简单地说， 奇点究竟是什么样子的？ 对此， 人们曾经试图给出一个直观描述， 可惜一直没能找到一种直观描述足以涵盖所有可能的测地不完备性。 比方说， 人们曾经认为奇点的产生意味着某些几何量 (比如曲率张量) 或物理量 (比如物质密度) 发散， 如果是这样， 那么沿不完备非类空测地线运动的试验粒子所遇到的将是趋于无穷的潮汐作用或其它发散的物理效应。 Schwarzschild 奇点及大爆炸奇点显然都具有这种性质。 但细致的研究发现， 并非所有的奇点都是如此。 一个最简单的反例是锥形时空：

ds2 = dt2 - dr2 - r2(dθ2 + sin2θdφ2)


其中 r>0， 0<φ<a (a 为 小于 2π 的一个角度)， 并且 φ=0 与 φ=a 粘连在一起。 这个时空是局部平坦的 (曲率张量处处为零)， 并且显然没有任何发散性。 但这一时空无法延拓到 r=0 (被称为锥形奇点)， 因而是测地不完备的 (类时与类光都不完备)[注七]。 这个反例表明奇点不一定意味着发散性。

对奇点的另一种直观描述是： 奇点是时空中被挖去的点 (或点集)。 比如 Schwarzschild 奇点与刚才提到的锥形奇点是被挖去的 r=0， 大爆炸奇点则是被挖去的 t=0。 但这种描述如果正确的话， 那么通向奇点的所有测地线 - 无论类时还是类光 - 必定都是不完备的。 换句话说， 如果奇点是时空中被挖去的点 (或点集)， 那么它的存在将同时意味着类时测地不完备性与类光测地不完备性。 我们上面举出的所有例子都具有这一特点。 但细致的研究表明， 这一描述同样不足以涵盖所有的奇点。 1968 年 R. P. Geroch 给出了一个共形于 Minkowski 时空的时空 (R4, Ω2ηab)， 其中共形因子 Ω2 具有球对称性， 在区域 r>1 恒为 1， 在 r=0 上满足 t2Ω→0 (t→∞)。 显然 (请读者自行证明)， 对于这样的时空， 类时测地线 r=0 沿 t→∞ 具有不完备性， 因此这个时空流形具有类时测地不完备性。 另一方面， 所有类光测地线都将穿越区域 r≤1 而进入平直时空， 因而都是测地完备的。 由此可见这一时空具有类时测地不完备性， 但不具有类光测地不完备性[注八]。 这个反例表明奇点并非都能理解为是从时空中被挖去的点 (或点集)。

通过这些例子， 我们对奇点定义所包含的复杂性有了一些初步了解， 它的表述虽然简单， 却巧妙地包含了难以完整罗列的种种复杂的时空类型。 但另一方面， 这个定义虽然已经具有很大的涵盖性， 却仍不足以包含所有的奇点类型。 这一点也是由 Geroch 指出的， 此人在奇点定理的研究中是可以与 Hawking 及 Penrose 齐名的非同小可的人物。 1968 年， 在提出上述反例的同一篇论文中， Geroch 给出了另外一种时空， 它是测地完备的， 但却包含长度有限的不可延拓类时曲线 (注意是类时曲线而非类时测地线)， 并且该曲线上的加速度有界。 从物理上讲， 这意味着在这种时空中， 带有限燃料的火箭所携带的试验粒子沿特定的类时曲线运动， 可以在有限时间之内从时空流形中消失。 显然， 这与自由下落的试验粒子从时空流形中消失具有同样严重的病态性质 (事实上这里我们还要多损失一枚火箭！)。 因此如果我们认为测地不完备性意味着奇点， 那么就必须承认 Geroch 的时空也具有奇点。 这个反例表明， 我们 - 以及多数其它文献 - 所采用的测地不完备性只是定义奇点的充分条件， 而不是必要条件。 也就是说， 一个测地不完备的时空必定具有奇点， 但反过来则不然， 一个测地完备的时空未必就没有奇点。

物理学家们对奇点性质所做的研究还有许多， 限于篇幅， 我们不在这里做进一步叙述了， 不过在后文介绍宇宙监督假设时我们还会再涉及这一话题。 在接下来的几节中， 我们将介绍奇点定理及其证明。

注释

1.当然， 这里所谓的 “其它物理理论” 指的是不把时空本身作为研究对象的理论。 另外， 人们通常把由非奇异初始条件演化而来的奇点称为理论本身所具有的奇点， 以区别于纯粹通过初始条件而引入的奇点。 显然， 线性理论 (比如 Maxwell 电磁理论) 不可能有这样的奇点。
2.Lorentz 度规是指 signature 为 (1, -1, -1, -1) 的度规 (有些文献的定义与本文差一个整体符号)。 除 Lorentz 度规外， 人们常常在时空定义中附加一些其它条件， 比如 Hausdoff 性质、 连通性， 等。 对于度规的可微性则有的假定为 C∞， 有的假定为 Cr (r 为正整数 - 请读者思考一下， r 最小应该是多少？)， 等。
3.有些物理学家试图将奇点视为时空流形的边界 - 称为奇异边界 (singular boundary)， 但在这方面迄今尚未建立令人满意的处理方式。
4.非类空即类时与类光的总称。 这里所说的试验粒子包括零质量粒子。
5.一条时空曲线不可延拓直观地说就是在时空流形内没有端点。 为此我们首先要求时空流形本身是 “不可延拓” 的， 即无法等度规地 (isometrically) 嵌入更大的流形中 (不过如何实现这一要求本身就是一个很艰深的问题)。 这一要求排除了一些 trivial 的奇点， 比如在 Minkowski 时空中挖去一个时空点所造成的 “奇点”。 测地线的不可延拓性则可以用来排除诸如 Schwarzschild 视界这样的表观奇点。
6.显然我们也可以定义类空测地不完备性， 但由于沿类空测地线的运动是物理上不可实现的， 因此这种测地不完备性在奇点研究中不如其它两种测地不完备性那样受重视。
7.这个例子比较平凡， 一个更复杂的例子是所谓的 Taub-NUT 空间， 它具有 R1×S3 拓扑结构， 曲率张量处处有界， 但同样是测地不完备的 (类时与类光都不完备)。
8.这个例子比较特设， 一个更具物理意义的例子是 Reissner-Nordstr&ouml;m 解， 它描述的是带质量及电荷的球对称时空， Reissner-Nordstr&ouml;m 解具有类光测地完备性， 但不具有类时测地不完备性。

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呵呵，改谈G点估计还能有个把回贴

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二. Raychaudhuri 方程

在 上一节 中我们对广义相对论中的奇点作了定义。 这样定义的奇点究竟会在什么条件下出现？ 它是否如某些物理学家猜测的那样来源于对称性？ 这些就是奇点定理所要回答的问题。

由于我们对奇点的定义是建立在测地不完备性之上的， 因此为了研究奇点产生的条件， 很自然的做法就是对测地线的性质进行研究。 我们用 V 表示测地线的切矢量， 对于类时测地线来说， V 满足两个条件： VaVa=1 (归一化条件) 及 VaVb;a=0 (自平移条件)。 我们效仿线性代数中引进投影算符的做法， 引进一个辅助张量 hab=gab-VaVb。 不难证明 (请自行验证)， hab 是在与 V 垂直的子空间上的投影算符， 因此 hab 有时被称为时空度规 gab 的 “空间部分” (请读者想一想， 这里所说的 “空间” 是什么含义？)。

我们知道， 时空曲率的存在会导致沿相邻测地线运动的试验粒子之间的距离发生变化， 这是所谓的测地偏离 (geodesic deviation) 效应， 它是引力相互作用的一种体现。 我们对测地线性质的研究也从这个角度入手。 对一个测地线束来说， 如果我们用与切矢量 V 垂直的自然基矢 S 表示测地偏离矢量， 则 [S, V]=0， 即 (请读者自行证明)： dSa/dτ ≡ VbSa;b = Va;bSb (其中 τ 为固有时间)。 这表明， Va;b 描述了测地偏离矢量沿测地线的变化。 如果我们把沿测地线束运动的一群粒子看成一种类似于连续介质的东西， 那么 Va;b 描述的就是这一介质的形变。 由于这种形变是纯 “空间” 的 (请读者想一想这是什么含义？ 并且予以证明)， 因此我们可以仿照连续介质力学的做法， 用前面定义的时空度规的 “空间部分” hab 将这种形变分解为 (请读者加以验证)：

Va;b = (1/3)θhab + σab + ωab


其中 θ， σab， 及 ωab 分别定义为：

θ = Va;bhab = Va;a
σab = V(a;b) - (1/3)θhab
ωab = V[a;b]


这里 V(a;b) 与 V[a;b] 分别为 Va;b 的对称与反对称部分。 上面这三项均有明确的物理意义： θ 被称为膨胀标量 (expansion scalar)， 是 Va;b 的迹， 描述的是测地线束汇聚或发散的趋势； σab 被称为切变张量 (shear tensor)， 是 Va;b 的无迹对称部分， 描述的是测地线束的空间截面在体积不变 (由无迹条件所保证) 的情况下产生形变的趋势； ωab 被称为涡旋张量 (vorticity tensor)， 是 Va;b 的反对称部分， 描述的是测地线束在空间截面形状不变的情况下相互缠绕的趋势[注一]。 这其中描述测地线束汇聚或发散的 θ 对于奇点定理的讨论有着特别重要的意义， 因此我们将着重对它进行研究。

为了研究 θ， 我们注意到从物理上讲， 影响 θ 的因素是时空曲率 (或者说物质分布 - 两者通过 Einstein 场方程彼此联系)。 因此我们从曲率张量的定义式 Va;bc - Va;cb = RadbcVd 出发[注二]。 将这一表达式对指标 a 和 b 进行缩并， 与 Vc 取内积， 并利用 Va;b 的分解式及类时切向量 V 的性质， 便可证明 θ 沿测地线的变化为：

dθ/dτ ≡ Vaθ;a = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab + ωabωab


其中 τ 为固有时间。 这个方程被称为 Raychaudhuri 方程[注三]， 是印度物理学家 A. K. Raychaudhuri (1923-2005) 与俄国物理学家 L. Landau (1908-1968) 彼此独立地提出的。 Raychaudhuri 方程的提出恰好是在 Einstein 逝世的那一年 (1955 年)， 它与能量条件的结合将成为证明奇点定理的重要环节。

三. 测地线束与共轭点

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考虑的测地线束局部正比于某个梯度场， 或者说垂直于某个超曲面， 则称该线束是超曲面垂直 (hypersurface orthogonal) 的。 可以证明， 对于这样的测地线束来说， 涡旋张量 ωab 为零， 从而 Raychaudhuri 方程可以简化为：

dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab


由于 σabσab 总是非负的， 因此从这个方程中我们可以得到：

dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2


如果进一步假定强能量条件成立， 即 RabVaVb 处处非负， 则上述不等式可以进一步简化为：

dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2


对这个不等式进行积分可得：

θ-1 ≥ θ0-1+(1/3)(τ-τ0)


其中 θ0=θ(τ0)。 从这个不等式我们可以得到一个重要的推论， 那就是倘若 θ0<0， 即线束在 τ=τ0 时出现汇聚效应， 则 θ 会在有限固有时间 τ-τ0≤3/|θ0| 内趋于负无穷。 可以证明， 这意味着测地线束在该处汇聚为一点， 或者说测地偏离矢量场 - 也称为 Jacobi 场 - 在该处为零。 如果一个从 p 点发出的非平凡 (即各测地线不处处重合， 或者说 Jacobi 场不处处为零) 的类时测地线束在 q 点汇聚， 我们就把 q 和 p 称为该测地线束上 (即其中每一条测地线上) 的一对共轭点 (conjugate points)。 从上面的分析中我们看到， 如果从 p 点发出的一个类时测地线束在未来某一点上出现汇聚效应 θ<0， 则在该线束上距离 p 有限远的地方必定存在一个与 p 共轭的点 q - 当然， 这里我们要假定该测地线束可以延伸到 q 点。

显然， 在一个测地完备时空中， “测地线束可以延伸到 q 点” 这一假定是自动满足的。 因此， 对于测地完备时空来说， 上面这个结果是所有类时测地线都满足的普遍性质。 进一步的分析表明， 上述结果所要求的条件， 即在某一点上 θ<0， 可以转化为一个有关曲率张量的条件。 事实上， 从前面所得的 θ-1≥θ0-1+(1/3)(τ-τ0) 可以看到， 即便 σabσab 与 RabVaVb 处处为零， 且 θ0>0 (这是对形成 θ<0 最为不利的条件)， θ 仍将在 τ→∞ 时趋于零 (即几乎就要形成 θ<0 这一结果)。 这使人想到， 上述最为不利的条件只要在某个点上 (从而由连续性条件可知在该点的一个邻域内) 被破坏， 比如 RabVaVb>0 在某个点上成立， 就足可造成当 τ 足够大时 θ<0。 事实也的确如此， 因此某一点上 θ<0 这一条件转化为某一点上 RabVaVb>0。 如果我们进一步把 σabσab 所起的作用也考虑进去， 这一条件还可以继续减弱， 最终可以得到这样一个结果： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件成立， 并且在每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 则所有类时测地线上都存在共轭点对， 简称共轭对。

从物理意义上讲， 每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 意味着每条类时测地线都至少会在一个时空点上遇到由物质分布或引力波所造成的某种测地偏离效应。 这一条件 - 称为类时一般性条件 (timelike generic condition) - 在理论上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率张量与测地线切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所违反。 但对于具有现实物理意义的情形来说， 由于物质及引力波的分布往往足够弥散及随机， 类时一般性条件被认为是得到满足的。

上面这些结果都是针对类时测地线的。 不过可以证明， 除了一些不影响定性结果的差异 (比如 Raychaudhuri 方程中的数值因子 1/3 因垂直子空间维数的改变而变成 1/2， 固有时间 τ 变成仿射参数 λ， 等) 外， 类光测地线也具有类似的性质。 类光测地线所满足的一般性条件为： 每条类光测地线上至少有一个点使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 这个条件被称为类光一般性条件 (null generic condition)[注四]。 类时与类光一般性条件统称为一般性条件[注五]。 把类时与类光情形合在一起， 我们前面介绍的结果可以重新表述为： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件与一般性条件成立， 则每条非类空测地线上都存在共轭对[注六]。 这是一个不依赖于对称性的普遍结果， 它对于奇点定理的证明及确立奇点定理的普适性都有极其重要的作用。

细心的读者可能还记得， 在上述结果的证明伊始我们曾经作过一个假设， 即所考虑的测地线束是超曲面垂直的。 这个假定保证了 ωab=0， 从而消除了 Raychaudhuri 方程中与其它各项符号相反 - 因而会对我们的证明造成极大干扰 - 的 ωabωab 项 (请读者想一下， 这一项的符号与其它各项相反的物理意义是什么？)。 那么这个假设具有多大的普遍性呢？ 或者说， 这个假设是否会使上述结果 - 进而使整个奇点定理的证明 - 失去应有的普遍性呢？ 幸运的是， 在数学上可以证明， 经过某一时空点的类时测地线束必定在该点的某个凸邻域内具有超曲面垂直性， 因此 ωab 在该邻域内必定为零。 不仅如此， 通过一个与 Raychaudhuri 方程类似的描述 ωab 沿测地线变化的方程可以证明， ωab 沿一条测地线只要在某一点上为零， 就 (沿该测地线) 处处为零。 因此， 假定测地线束为超曲面垂直不会有损结果的普遍性。

上面的结果表明， 在一个具有适当物质分布的测地完备时空中共轭点的存在是普遍现象。 假如有一个适当的物质粒子群沿某个非类空测地线束运动， 那么当它们运动到共轭点上时， 由于测地线的汇聚， 粒子的数密度 (以及质量密度) 将趋于发散， 从而形成一个奇点。 Raychaudhuri 发表于 1955 年的原始论文就涉及了这样的情形[注七]。 不过， 在一般情况下没有理由假定存在那样的物质粒子群， 因此共轭点的存在不会直接导致奇点， 上述结果也不足以作为奇点存在性的证明 (如果一定要算证明的话， 只能算是非常弱的证明， 因为它所要求的条件太过特殊)。 但是， 这一结果为十年后 Penrose 等人的工作奠定了基础， 是证明奇点定理的第一步。 这一步所侧重的是引力理论中的动力学因素， 强能量条件的引进是这种因素的体现。

在 下一篇 中我们将会看到， 当我们把有关测地线的上述结果与看似风马牛不相及的时空的因果性质结合起来时， 奇点在广义相对论中的出现几乎是不可避免的。

释

1.文献中对这一张量的叫法很多， 除涡旋外， 常见的叫法还有扭变 (twist) 与旋转 (rotation)。
2.确切地讲， 这是将曲率张量的定义用于测地切矢量场所得到的关系式。
3.我们这里介绍的只是 Raychaudhuri 方程应用于测地切矢量场的特例， 一般 Raychaudhuri 方程的适用范围并不限于测地矢量场。 另外， 对抽象记号感兴趣的读者可以试着将我们所介绍的 Raychaudhuri 方程改写成一个不变形式： V(trK)+tr(K2)+Ric(V,V)=0， 其中 V 为测地线的切矢量场， K=grad(V)， Ric 表示 Ricci 张量场。
4.类时一般性条件也可以表示成这一形式， 因此有些文献对两类一般性条件统一使用这一形式。
5.从某种意义上讲， 一般性条件也是对物质分布的间接限定。 这种限定不同于我们在 能量条件简介的第二节 中介绍的那些能量条件， 因为平直时空满足所有那些能量条件， 却不满足一般性条件。 有鉴于此， 有些文献把一般性条件通俗地表述为 “时空中存在物质”。 不过要注意的是： 由于一般性条件涉及的是曲率张量而不是 Ricci 张量， 因此不能被简单地约化为对物质能量动量张量的直接限制。
6.在某些文献中， 强能量条件与一般性条件被合称为一般能量条件 (generic energy condition)。
7.Raychaudhuri 研究的是非旋转尘埃物质的运动。 在 Raychaudhuri 之前， K. G&ouml;del 在 1949 年发表的有关 G&ouml;del 模型的著名论文中率先用到了一些在奇点定理的证明中有着重要作用的技巧及思路。 他们的那些工作是奇点定理的先声。

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卢昌海的空间我也经常去的，以前还在海浩转发过好几次他的文章呢。